3  Objetivos

3.1 Objetivo general:

Desarrollar e implementar esquemas numéricos de aproximación fuerte (Milstein compensado y semi-implícito compensado) para ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos de tipo Cramér-Lundberg extendido, que modelen la evolución de reservas técnicas de una aseguradora de vivienda en la Ciudad de México, incorporando parámetros tiempo-dependientes (primas ajustadas por inflación, tasas de interés estocásticas, volatilidad variable) y procesos de salto compuestos que capturen siniestros catastróficos meteorológicos y sísmicos; establecer rigurosamente las condiciones de convergencia fuerte de orden \(\gamma = 1/2\) bajo hipótesis de Lipschitz local y crecimiento lineal; y evaluar comparativamente el desempeño numérico de ambos esquemas en términos de estabilidad, precisión y eficiencia computacional para la gestión de riesgos de solvencia en el contexto del mercado asegurador mexicano.

3.2 Objetivos especifícos:

  1. Fundamentación teórica: Establecer el marco teórico-matemático riguroso de espacios de probabilidad filtrados, medidas aleatorias de Poisson compensadas, integral estocástica de Itô para procesos con saltos, y fórmula de Itô generalizada para semimartingalas, demostrando los teoremas de isometría, Fubini estocástico y densidad de procesos elementales simples en \(L^2_{\text{pred}}(\tilde{N})\).

  2. Existencia y unicidad: Demostrar teoremas de existencia y unicidad global y local de soluciones fuertes para EDE con difusión y saltos bajo condiciones de Lipschitz (global y local respectivamente) y crecimiento lineal, utilizando el principio de contracción de Banach en espacios de Hilbert ponderados \(S^{2,\text{loc}}_{\mathcal{F}}(\mathbb{R})\) con norma exponencialmente ponderada, y estableciendo cotas uniformes de momentos de segundo orden mediante desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy y Gronwall.

  3. Diseño de esquemas numéricos: Derivar rigurosamente los esquemas numéricos de Milstein compensado (con corrección de segundo orden \(\frac{1}{2}\sigma\sigma_x[(\Delta W)^2 - \Delta t]\)) y semi-implícito compensado (con tratamiento implícito del término de interés \(r(t)U(t)\) en el denominador \(1 - r(t_{n+1})\Delta t\)), justificando la compensación de saltos \(\lambda\mathbb{E}[Y|\mathcal{F}_t]\) para garantizar propiedad de martingala local y estabilidad numérica.

  4. Convergencia fuerte: Probar teoremas de convergencia fuerte de orden \(\gamma = 1/2\) para ambos esquemas bajo hipótesis de Lipschitz global, crecimiento lineal, momentos finitos de cuarto orden para saltos, y condición de estabilidad \(1 - r(t)\Delta t \geq \delta > 0\), descomponiendo el error global en componentes de difusión, salto e implicitidad, y estableciendo cotas recursivas mediante desigualdades de Gronwall discretas.

  5. Calibración de parámetros: Estimar rigurosamente los parámetros del modelo extendido de Cramér-Lundberg para el mercado de seguros de vivienda en la CDMX, función de primas \(c(t)\) ajustadas por inflación mensual del INPC, tasa de inversión \(r(t)\) como combinación convexa de CETES y bonos USD, volatilidad \(\sigma(t)\) ponderada entre componentes locales (CETES) y globales (ILS), intensidades de salto \(\lambda_{\text{meteo}}(t)\) estacionales y \(\lambda_{\text{sismo}}\) constantes, distribuciones de severidad \(Y_{\text{meteo}}\) y \(Y_{\text{sismo}}\) como normales truncadas, utilizando máxima verosimilitud y datos históricos de CONAGUA, SSN y CNSF.

  6. Implementación computacional: Implementar algoritmos eficientes en Python/NumPy para ambos esquemas numéricos con \(N_{\text{sim}} = 1000\) trayectorias Monte Carlo, paso temporal \(\Delta t = 1/365\) (diario), horizonte \(T = 2\) años (2024-2025) más pronóstico a 30 días (enero 2026), incorporando técnicas de reducción de varianza (variables de control) y detección automática de saltos en trayectorias medianas mediante umbrales de \(3\sigma\) en retornos logarítmicos.

  7. Análisis comparativo: Evaluar cuantitativamente el desempeño de ambos métodos comparando el sesgo sistemático en medianas (\(+2.30\%\) favorable al semi-implícito), la amplitud de intervalos de confianza al \(90\%\) (\(+12.54\%\) mayor dispersión en semi-implícito), la estabilidad incondicional del semi-implícito vs condicionalidad de Milstein (\(\Delta t < 2/r_{\max}\)), eficiencia computacional (posibilidad de usar \(\Delta t = 1/12\) mensual en semi-implícito reduciendo costo \(96.7\%\)), implicaciones para gestión de riesgos y solvencia regulatoria CNSF.