Para los siniestros sísmicos, adoptamos también una distribución normal truncada (\(\mathcal{N}_+\)) en \([0, \infty)\), es decir:
\[Y_{\text{sismo}} \sim \mathcal{N}_+(\mu_s, \sigma_s^2).\]
Los parámetros se estiman por máxima verosimilitud robusta (M-estimador Definición 4.5 o regresión cuantílica Definición 4.6) sobre las 43 reclamaciones sísmicas registradas en el periodo 2000–2023 en la CDMX:
\[\hat{\mu}_s = \ln(1{,}750{,}000) \approx 14.37, \qquad\hat{\sigma}_s = 0.65 \quad (\text{IC}_{95\%}: [0.55,\, 0.75]).\]
Estos valores se obtienen al ajustar una normal en escala logarítmica (como es común en modelado de severidad), y luego se interpreta como una normal truncada en la escala original. Nuevamente, dado que \(\mu_s / \sigma_s \approx 22.1 \geq 1\), la probabilidad de que la variable no truncada sea negativa es astronómicamente pequeña \((<10^{-100})\), por lo que la truncación no modifica significativamente la media.
El valor esperado es entonces aproximadamente:
\[\begin{aligned}
\mathbb{E}[Y_{\text{sismo}}] \approx {}& \exp\!\left(\mu_s + \frac{\sigma_s^2}{2}\right)= \exp\!\left(14.37 + \frac{0.65^2}{2}\right) \\
& = \exp(14.37 + 0.21125) = \exp(14.58125) \approx \text{USD } 2{,}160{,}000.
\end{aligned}\]
Sin embargo, si queremos mantener coherencia con el valor anterior de USD 1,750,000 con \(\alpha=1.4\), \(x_{\min}=500{,}000\), podemos calibrar la normal truncada para que tenga exactamente esa media. Resolvemos:
\[\mathbb{E}[Y] = \mu + \sigma \cdot \lambda(\alpha) = 1{,}750{,}000,\]
con \(\alpha = -\mu/\sigma\), y \(\lambda(\alpha) = \varphi(\alpha)/(1-\Phi(\alpha))\). Dado que \(\mu\) y \(\sigma\) están en escala lineal (no log), proponemos una calibración directa:
Supongamos que la severidad sísmica tiene media \(\mu_s = 1{,}750{,}000\) y desviación estándar \(\sigma_s = 875{,}000\) (coeficiente de variación ≈ 0.5), lo cual es consistente con la dispersión observada en eventos catastróficos (ej. sismo 2017: reclamaciones entre \((0.8\) y \(3.2)\) millones de dolares (USD).
Entonces, la distribución normal truncada \(\mathcal{N}_+(1{,}750{,}000,; 875{,}000^2)\) tiene:
\[\alpha = -\frac{1{,}750{,}000}{875{,}000} = -2.0, \quad \lambda(\alpha) = \frac{\varphi(-2)}{1-\Phi(-2)} = \frac{0.0540}{0.9772} \approx 0.0553,\]
y por tanto
\[\mathbb{E}[Y] = \mu + \sigma \lambda(\alpha) = 1{,}750{,}000 + 875{,}000 \cdot 0.0553 \approx 1{,}798{,}400,\]
muy cercano a 1.75M. Si ajustamos ligeramente \(\mu = 1{,}742{,}000\), obtenemos \(\mathbb{E}[Y] \approx 1{,}750{,}000\).
Así, proponemos finalmente:
\[Y_{\text{sismo}} \sim \mathcal{N}_+\bigl(\mu_s = 1{,}742{,}000,\; \sigma_s = 875{,}000\bigr),\]
con \(\mathbb{E}[Y_{\text{sismo}}] = \text{USD } 1{,}750{,}000\), y coeficiente de variación \(= 0.50\).
Puesto que los saltos que salen de la reserva son exactamente los siniestros agrgados como se presenta en Sección 7.1.4 se tiene \(J_T\) de la siguiente manera: \[
J_t = S(t) = S_{\text{meteo}}(t) + S_{\text{sismo}}(t) = \sum_{i=1}^{N_{\text{meteo}}(t)} Y_i^{\text{meteo}} + \sum_{j=1}^{N_{\text{sismo}}(t)} Y_j^{\text{sismo}}, \quad J_0 = 0.
\tag{7.4}\]
donde \(N_{\text{meteo}}(t)\) y \(N_{\text{sismo}}(t)\) son procesos de conteo de Poisson independientes, con intensidades \(\lambda_{\text{meteo}}(t)\) (no homogénea) y \(\lambda_{\text{sismo}}\) y \({Y_i^{\text{meteo}}}\), \({Y_j^{\text{sismo}}}\) son sucesiones i.i.d. de severidades, independientes entre sí y de los procesos de conteo, con distribuciones \(F_{\text{meteo}}\) y \(F_{\text{sismo}}\) respectivamente.
al incorporar simultáneamente el tiempo y el monto del siniestro, se introducen dos medidas aleatorias de Poisson.
Sea
\[
N_{\mathrm{meteo}}(dt,dy)
\]
la medida aleatoria de Poisson asociada a los siniestros meteorológicos y
\[
N_{\mathrm{sismo}}(dt,dy)
\]
la correspondiente a los eventos sísmicos, ambas definidas sobre el espacio de estados \([0,\infty)\times\mathbb{R}_{+}\).
El costo acumulado de los siniestros meteorológicos hasta el instante \(t\) puede escribirse como
\[J_t^{\mathrm{meteo}}
=
\int_0^t
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y\,
N_{\mathrm{meteo}}(ds,dy),
\]
mientras que la componente sísmica viene dada por \[
J_t^{\mathrm{sismo}}
=
\int_0^t
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y\,
N_{\mathrm{sismo}}(ds,dy).
\] Suponiendo independencia entre ambas fuentes de riesgo, el proceso agregado de pérdidas se define como \[
J_t
=
J_t^{\mathrm{meteo}}
+
J_t^{\mathrm{sismo}},
\] es decir, \[
\boxed{
J_t
=
\int_0^t
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y\,
N_{\mathrm{meteo}}(ds,dy)
+
\int_0^t
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y\,
N_{\mathrm{sismo}}(ds,dy).
}
\] En forma diferencial, \[
\boxed{
dJ_t
=
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y\,
N_{\mathrm{meteo}}(dt,dy)
+
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y\,
N_{\mathrm{sismo}}(dt,dy).
}
\] Con el fin de separar el componente determinista asociado al costo esperado de los siniestros del componente puramente aleatorio, se introducen las medidas compensadas
\[
\widetilde{N}_{\mathrm{meteo}}(dt,dy)
=
N_{\mathrm{meteo}}(dt,dy)
-
\nu_{\mathrm{meteo}}(t,dy)\,dt,
\]
y
\[
\widetilde{N}_{\mathrm{sismo}}(dt,dy)
=
N_{\mathrm{sismo}}(dt,dy)
-
\nu_{\mathrm{sismo}}(t,dy)\,dt.
\]
Sustituyendo estas expresiones en la representación diferencial de \(J_t\), se obtiene
\[
\begin{aligned}
dJ_t
={}&
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y\,
\widetilde{N}_{\mathrm{meteo}}(dt,dy)
+
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y\,
\widetilde{N}_{\mathrm{sismo}}(dt,dy)
\\[1ex]
&
+
\lambda_{\mathrm{meteo}}(t)
\left(
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y
F_t^{\mathrm{meteo}}(dy)
\right)dt
\\[1ex]
&
+
\lambda_{\mathrm{sismo}}
\left(
\int_{\mathbb{R}_{+}}
y
F_t^{\mathrm{sismo}}(dy)
\right)dt.
\end{aligned}
\]
Aproximación numérica del modelo de Crámer Lundberg extendido
La EDE \[dX_t = a(X_{t-})dt + b(X_{t-})dW_t - dJ_t\]
Consideramos el proceso de reservas bajo el modelo extendido de Cramér-Lundberg con inversión estocástica y saltos reescribimos Ecuación 5.10 en forma diferencial estocástica:
\[dX_t = \underbrace{\left[c(t) + r(t)X_t - \lambda_{\text{meteo}}(t)\mathbb{E}[Y^{\text{meteo}}_t \mid \mathcal{F}_t] - \lambda_{\text{sismo}}\mathbb{E}[Y^{\text{sismo}}_t \mid \mathcal{F}_t]\right]}_{\mu(t,X_t)}dt + \underbrace{\sigma(t)X_t}_{\sigma(t,X_t)}dW_t - dJ_t \tag{7.5}\]
La compensación \(\lambda \mathbb{E}[Y \mid \mathcal{F}_t]\) garantiza que el proceso sin saltos reales sea una semimartingala (Definición 5.1) con la deriva correcta, esencial para la convergencia del esquema numérico.
Se ha desarrollado un modelo Cramér-Lundberg extendido para aproximar las reservas de una aseguradora de vivienda en la Ciudad de México. Este modelo incorpora parámetros dependientes del tiempo, primas ajustadas por inflación (Sección 7.1.1), tasas de interés estocásticas (Sección 7.1.2), volatilidad mediante combinación convexa (Sección 7.1.3) y un proceso de saltos compuesto que modela siniestros catastróficos meteorológicos y sísmicos con intensidades estacionales (Sección 7.1.4).
Dada la complejidad de la ecuación diferencial estocástica con saltos resultante (EDE), cuya solución analítica no es viable ante la no estacionariedad de los parámetros y la estructura de saltos, se requiere métodos numéricos robustos.
Para la simulación, discretizamos con paso \(\Delta t = 1/12\) (mensual) y consideramos dos esquemas numéricos.
Implementación Numérica Métodos Milstein y Semi-Implícito.
Presentando el algoritmo de Milstein compensado (Sección 6.3), escrito en lenguaje natural estructurado (es decir, como un pseudocódigo), diseñado específicamente para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS) con difusión y salto (Capítulo 5), como las que surgen en el modelo de Cramér–Lundberg (Ecuación 5.10) por ejemplo, con componentes de procesos compuestos de Poisson)
El pseudocódigo siguiente está pensado para ser puente conceptual entre la teoría y la implementación, y se enfoca en la versión compensada (es decir, usando el proceso de salto compensado (Definición 4.18) \(\tilde{N} = N_t - \lambda t\)) para garantizar que el término de salto tenga esperanza cero y sea adecuado para esquemas numéricos estables.
