9 Conclusiones.
El presente trabajo de tesis ha establecido un marco teórico-matemático riguroso para la aproximación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos aplicadas a la modelación de reservas técnicas en el sector asegurador de vivienda de la Ciudad de México. Los resultados obtenidos demuestran que la extensión del modelo clásico de Cramér-Lundberg mediante la incorporación de parámetros tiempo-dependientes, difusión estocástica y procesos de salto compuestos constituye una herramienta matemáticamente bien planteada y computacionalmente viable para la gestión de riesgos catastróficos en mercados emergentes.
En primer lugar, se demostraron teoremas de existencia y unicidad global y local de soluciones fuertes para ecuaciones diferenciales estocásticas con difusión y saltos bajo condiciones de Lipschitz y crecimiento lineal. La demostración, fundamentada en el principio de contracción de Banach aplicado al espacio de Hilbert ponderado \(S_{\mathcal{F}}^{2,\text{loc}}(\mathbb{R})\) con norma:
\[ \| (x_{\cdot}) \|_M^2 = \sup_{t \in [0,T]} e^{-b_0 A(t)} \mathbb{E}[|x_t|^2], \]
donde \(A(t)=\int_0^t 4\widetilde{c}(s)\,ds\) y \(b_0 > 5/4\), garantiza que el operador definido por la integral estocástica es contractivo con constante \(\kappa < 1\). Las cotas uniformes de momentos de segundo orden \(\mathbb{E}[\sup_{t \leq T} |x_t|^2] \leq K_T < \infty\) se establecieron mediante la aplicación combinada de la desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy para controlar términos estocásticos y la desigualdad de Gronwall para cerrar cotas recursivas.
La unicidad por trayectorias se probó utilizando la densidad de \(\mathbb{Q} \cap [0,T]\) y la propiedad cádlág de las soluciones, concluyendo que si \(x_t\) y \(x'_t\) son dos soluciones RCLL, entonces \(\mathbb{P}(x_t = x'_t \ \forall t \in [0,T]) = 1\). Este resultado fundamental garantiza que el modelo extendido de Cramér-Lundberg con parámetros tiempo-dependientes está bien planteado: existe solución, es única y depende continuamente de los datos iniciales, proporcionando así la base teórica sólida necesaria para cualquier implementación numérica posterior.
La derivación rigurosa de dos esquemas numéricos fundamentales Milstein compensado y semi-implícito compensado representa una contribución metodológica central de esta investigación. El esquema de Milstein compensado, dado por:
\[ \begin{aligned} Y_{n+1} = {}& Y_n + \left[a(t_n, Y_n) - \int_E R(t_n, Y_n, v)\phi(dv)\right]\Delta t \\ & + b(t_n, Y_n)\Delta W_n \\ & + \frac{1}{2} b(t_n, Y_n)b_x(t_n, Y_n)[(\Delta W_n)^2 - \Delta t] \\ & + \sum_{i=1}^{\Delta N_n} R(t_n, Y_n, \xi_i), \end{aligned} \]
incorpora la corrección de segundo orden \(\frac{1}{2}\sigma\sigma_x[(\Delta W)^2 - \Delta t]\) que captura las no linealidades de la difusión \(\sigma(t)U(t)\), esencial cuando \(\sigma_x \neq 0\). Por su parte, el esquema semi-implícito compensado, definido mediante:
\[ U_{n+1} = \frac{U_n(1 + \sigma(t_n)\Delta W_n) + c(t_n)\Delta t + \text{comp} - \Delta J_n^{\text{bruto}}}{1 - r(t_{n+1})\Delta t}, \]
presenta implicidad en el término de interés que garantiza estabilidad incondicional para \(r(t) > 0\), como establecieron Higham et al. (2002). La amplificación no lineal introducida por el denominador \(1 - r(t_n)\Delta t\) satisface:
\[ \frac{1}{1 - r\Delta t} > 1 + r\Delta t + \mathcal{O}((r\Delta t)^2) \quad \text{para } r\Delta t \in (0,1), \]
lo que introduce un sesgo de conservadurismo para la gestión de solvencia. Se probaron teoremas de convergencia fuerte de orden \(\gamma = 1/2\) para ambos esquemas bajo hipótesis de Lipschitz global, crecimiento lineal, momentos de cuarto orden para saltos \(\int_E |R(t,x,v)|^4 \phi(dv) < \infty\), y estabilidad numérica \(1 - r(t)\Delta t \geq \delta > 0\).
La demostración descompuso el error local \(R_n = R_n^{\text{dif}} + R_n^{\text{jump}} + R_n^{\text{implicit}}\) y estableció cotas que, combinadas mediante la desigualdad \((a+b+c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)\) y aplicando Gronwall discreto, se obtuvo la cota final \(\mathbb{E}[|e_N|^2] \leq C\Delta t\). Este resultado confirma que ambos esquemas convergen fuertemente con orden \(\gamma = 1/2\), consistente con la literatura especializada de Platen y Bruti-Liberati (2010), y Higham y Kloeden (2005), donde el término de corrección de Milstein mejora la constante \(C\) pero no el orden asintótico.
La calibración empírica de parámetros para el mercado asegurador mexicano constituyó un ejercicio de validación fundamental que conectó el marco teórico con la realidad del sector. Utilizando datos históricos del INEGI (2020), Banco de México (2024), CNSF (2024), Comisión Nacional del Agua (CONAGUA) (2024) y Servicio Sismológico Nacional (SSN), Instituto de Geofísica, UNAM (2024), se estimaron rigurosamente todos los parámetros del modelo. La función de primas ajustadas por inflación \(c(t)\) evoluciona de \(283.00\) MXN en enero \(2024\) a \(315.01\) MXN en diciembre 2025, representando un incremento acumulado del \(11.3\%\) consistente con las proyecciones del Banco de México; la tasa de inversión \(r(t) = 0.75 \cdot r_{\text{CETES}}(t) + 0.25 \cdot r_{\text{USD}}(t) \approx 0.7875\%\) mensual (\(9.45\%\) anual bruto) se ajustó a \(48.9\%\) anual neto tras considerar costos operativos y fiscales; la volatilidad \(\sigma(t) = 0.30\sigma_g(t) + 0.70\sigma_l\) presenta componente local constante \(\sigma_l = 0.05\%\) mensual y componente global estacional \(\sigma_g(t)\) con picos superiores a 0.35% en temporada de huracanes, resultando en una volatilidad total promedio \(\bar{\sigma} = 0.092\%\) mensual con picos superiores a 0.14% en meses de alta actividad catastrófica. Las intensidades de salto se calibraron como \(\lambda_{\text{meteo}}(t) = 8.0\) eventos/año \(\phi(t)\) con función estacional normalizada (pico en septiembre \(\phi(9) = 2.8\), mínimo en enero \(\phi(1) = 0.3\)) y \(\lambda_{\text{sismo}} = 0.08\) eventos/año constante sin estacionalidad significativa (\(p\)-valor \(> 0.15\)). Las distribuciones de severidad se modelaron como normales truncadas, \(Y_{\text{meteo}} \sim \mathcal{N}^+(\mu = 12.5, \sigma = 1.0)\) en escala logarítmica correspondiente a media 12,500 USD en escala lineal, y \(Y_{\text{sismo}} \sim \mathcal{N}^+(\mu_s = 1.742\text{M}, \sigma_s = 875,000)\) con media de 1.75 millones USD y coeficiente de variación 0.50. Esta calibración rigurosa asegura que el modelo refleja fielmente las características del mercado asegurador de vivienda en la CDMX.
Los resultados de simulación con \(N_{\text{sim}} = 1000\) trayectorias Monte Carlo, paso diario \(\Delta t = 1/365\) y horizonte 2024-2025 más pronóstico a 30 días para enero 2026 revelan diferencias sistemáticas entre ambos esquemas numéricos. El esquema semi-implícito genera reservas consistentemente superiores con +2.30% en mediana final (540.60M vs 528.45M) y +1.80% en límite inferior del intervalo de confianza 90% (521.50M vs 512.30M), proporcionando una cantidad de solvencia adicional sin requerir capital regulatorio extra. La mayor dispersión del esquema semi-implícito, evidenciada por un ancho de IC 90% +12.54% superior (37.70M vs 33.50M) y desviación estándar final +11.45% mayor (9.15M vs 8.21M), refleja la no linealidad del denominador \(1 - r(t)\Delta t\) que amplifica realizaciones con \(\Delta W_n > 0\). Ambos errores estándar de mediana (\(0.26M\) para Milstein vs \(0.29M\) para semi-implícito) se mantienen dentro de márgenes aceptables para toma de decisiones actuariales. La detección de saltos identificó 7 saltos significativos en la trayectoria mediana durante el periodo histórico 2024-2025, con concentración estacional del 61.1% en agosto-septiembre coincidiendo con la temporada de huracanes y coincidencia espaciotemporal del 94.4% entre ambos esquemas, validando la robustez de la modelación estado-dependiente de \(c(t,x,v)\).
Las implicaciones prácticas para la gestión de riesgos en el contexto de la CDMX justifican la recomendación del esquema semi-implícito compensado para aseguradoras con exposición significativa a riesgos catastróficos. El esquema manifestado en el \(+2.30\%\) adicional en reserva mediana y +1.80% en límite inferior del IC \(90\%\), proporciona una cantidad de solvencia que mitiga el riesgo de subestimación ante incertidumbre en frecuencia de sismos (\(\lambda_{\text{sismo}} = 0.15\) eventos/año en simulación vs \(0.08\) en datos históricos CNSF) y volatilidad en severidad de eventos catastróficos (CV = \(0.50\) para sismos). Este en términos de capital regulatorio es gratuito, ya que surge de la estructura numérica del esquema, no de requerimientos adicionales. La estabilidad incondicional del esquema semi-implícito garantiza convergencia incluso ante shocks en \(r(t)\), como los observados durante la política monetaria restrictiva de Banxico 2023-2024 (Banco de México (2024)) con tasas superiores al 11% anual, mientras que el esquema de Milstein requiere \(\Delta t < 2/r_{\max}\) para estabilidad, lo que con \(r_{\max} \approx 0.7875\%\) mensual implica \(\Delta t < 254\) días, satisfactorio para \(\Delta t = 1\) día pero potencialmente problemático en escenarios de hiperinflación o crisis de tasas con \(r > 20\%\) anual. La eficiencia computacional del esquema semi-implícito para horizontes extendidos permite aumentar \(\Delta t\) a \(1/12\) (mensual) para simulaciones a 5 años sin pérdida de estabilidad, reduciendo el costo computacional en aproximadamente \(96.7\%\) (de 365 a 12 pasos por año) mientras mantiene errores relativos inferiores a \(0.5\%\) en la mediana, inviable con Milstein compensado debido a su condicionalidad de estabilidad y crecimiento significativo del error de discretización con \(\Delta t\) grande en presencia de no linealidades.
Este trabajo ha demostrado que la combinación de fundamentación teórica rigurosa (teoremas de existencia, unicidad y convergencia), derivación metodológica precisa (esquemas numéricos compensados con análisis de error), calibración empírica detallada (parámetros del mercado mexicano) y validación computacional exhaustiva (simulaciones Monte Carlo con detección de saltos) constituye un enfoque integral para la modelación de reservas técnicas en presencia de riesgos catastróficos. El esquema semi-implícito compensado surge como la herramienta recomendada para implementación regulatoria, particularmente para cálculo de reservas técnicas con \(\Delta t = 1/365\) para proyecciones a \(1-2\) años, pruebas de estrés comparando ambos esquemas, y proyecciones de largo plazo (\(5+\) años) con \(\Delta t = 1/12\) validando errores relativos inferiores a 1%.
Las contribuciones de esta tesis, teóricas, metodológicas, empíricas y prácticas proporcionan una base sólida para la toma de decisiones actuariales informadas bajo condiciones de incertidumbre y variación temporal abren múltiples direcciones para investigación futura en modelación de riesgos catastróficos en mercados emergentes, incluyendo extensión a procesos de Lévy con actividad infinita, incorporación de control estocástico óptimo para reaseguro e inversiones, inferencia bayesiana para parámetros con MCMC (Markov Chain Monte Carlo), validación empírica con datos reales de aseguradoras, extensión a portafolios multidimensionales con correlaciones entre líneas de negocio, e incorporación de escenarios de cambio climático en intensidades y severidades de eventos meteorológicos.