4 Ecuaciones diferenciales estocásticas

4.1 Teorema de existencia y unicidad global de una solución fuerte para la SDE con difusión y saltos

Definición 4.1 \(\{x_t\}_{t\geq0}\) es una solución \((\mathcal{F}_t-)\) de
\[\begin{split} x_t = x_0 &+ \int_0^t b(s,x_s,\omega)\,ds + \int_0^t \sigma(s,x_s,\omega)\,dw_s \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \int_0^t\int_Z R(s,x_{s-},z,\omega)\,\tilde{N}_t(ds,dz), \qquad t\geq 0 \end{split} \tag{4.1}\] si y solo si \(\{x_t\}_{t\geq}0\) satisface la Ecuación 4.1. en el caso que \(x_t\in \mathcal{F}_t^{\omega_s}, \forall t \geq 0,\) donde \(\mathcal{F}_t^{\omega_s}\) es la \(\sigma\)-álgebra generada por \(\omega_s, s\leq t\), es una solución fuerte

Consideramos el espacio: \[\begin{split} \small S_{\mathcal{F}}^{2,loc}(R) = \left\lbrace\begin{array}{c}f(t,\omega):f(t,\omega) \text{\ es \ } \mathcal{F}_t- \text{adaptada, de valor real, tal que} \\ \mathbb{E} [sup_{t\in[0,T]} |f(t,\omega)|]^2 < \infty, \forall T < \infty \end{array}\right\rbrace \end{split} \tag{4.2}\]

Teorema 4.1 Suponga que:

\(b\) y \(\sigma : [0,\infty) \times \mathbb{R} \times \Omega \to \mathbb{R}\),\(R : [0,\infty) \times \mathbb{R}\times Z \times \Omega \to \mathbb{R}\) son conjuntamente medibles y \(\mathcal{F}_t\) -adaptadas, donde además \(R\) es \(\mathcal{F}_t\)-predecible, tales que \(P\)-c.s.: \[|b(t,x,\omega)| \leq \widetilde{c} (t)(1 + |x|),\] \[|\sigma(t,x,\omega)|^2 + \int_Z |R(t,x,z,\omega)|^2 \pi(dz) \leq \widetilde{c}(t)(1 + |x|^2),\]
\[|b(t,x_1,\omega) - b(t,x_2,\omega)| \leq \widetilde{c}(t) |x_1 - x_2|,\] \[|\sigma(t,x_1,\omega) - \sigma(t,x_2,\omega)|^2 + \int_Z |R(t,x_1,z,\omega) - R(t,x_2,z,\omega)|^2 \pi(dz) \leq \widetilde{c}(t) |x_1 - x_2|^2,\] donde \(\widetilde{c}(t)\) satisface las mismas condiciones que en 1°;
\[x_0 \in \mathcal{F}_0, \quad E|x_0|^2 < \infty.\] Entonces la Ecuación 4.1 tiene una solución única por trayectoria, \(\mathcal{F}_t\)-adaptada, \(\{x_t\}_{t \geq 0} \in S_{\mathcal{F}}^{2,\text{loc}}(\mathbb{R}^d)\).

En el caso en que \(b(t,x,\omega)\) y \(\sigma(t,x,\omega)\) sean \(\mathcal{F}_t^{w,\tilde{N}}\)-adaptadas, y \(R(t,x,z,\omega)\) sea \(\mathcal{F}_t^{w,\tilde{N}}\)-predecible, entonces la solución también es \(\mathcal{F}_t^{w,\tilde{N}}\)-adaptada, es decir, es una solución fuerte.

Demostración. Para algún \(T < \infty\) fijo, se define la norma: \[\| (x_{\cdot}) \|_M^2 = \sup_{t \in [0,T]} e^{-b_0 A(t)} \mathbb{E}[|x_t|^2],\] donde: - \(A(t) := \int_0^t 4\widetilde{c}(s) ds\), - \(b_0 \geq 0\) es una constante que se elegirá más adelante para hacer que el operador sea contractivo, - \(\widetilde{c}(s)\) es la función no aleatoria que aparece en las hipótesis \(1\) y \(2\) (crecimiento lineal y Lipschitz)

Entonces, el espacio sobre el cual se aplica el principio de contracción es: \[H = \left\{ \{x_t\} \in B :B \in L_{\mathfrak{F}}^{2}(\mathbb{R}), \ \| (x_{\cdot}) \|_M < \infty \right\}.\] Sea \(\Phi: H \to H\) el operador definido por: \[(\Phi(x))_t = x_0 + \int_0^t b(s, x_s, \omega)\,ds + \int_0^t \sigma(s, x_s, \omega)\,dW_s + \int_0^t \int_Z R(s, x_{s-}, z, \omega)\,\tilde{N}(ds, dz).\] y sea \(X_t = x_t^{(1)} - x_t^{(2)}\), y \(Y_t = (\Phi(x^{(1)}))_t - (\Phi(x^{(2)}))_t\). Entonces para un \(\omega\) fijo \[Y_t = \int_0^t [b(s, x_s^{(1)}, \omega) - b(s, x_s^{(2)}, \omega)]\,ds + \int_0^t [\sigma(s, x_s^{(1)}, \omega) - \sigma(s, x_s^{(2)}, \omega)]\,dW_s\] \[+ \int_0^t \int_Z [R(s, x_{s-}^{(1)}, z, \omega) - R(s, x_{s-}^{(2)}, z, \omega)]\,\tilde{N}(ds, dz).\] Por comodidad \[Y_t = \int_0^t \Delta b_s\,ds + \int_0^t \Delta \sigma_s\,dW_s + \int_0^t \int_Z \Delta R_s(z)\,\tilde{N}(ds, dz),\] donde \(\Delta b_s := b(s, x_s^{(1)}) - b(s, x_s^{(2)}), \Delta \sigma_s := \sigma(s, x_s^{(1)}) - \sigma(s, x_s^{(2)}), \Delta R_s(z) := R(s, x_{s-}^{(1)}, z) - R(s, x_{s-}^{(2)}, z)\) Puesto que la función \(f(y) = y^2\) tiene derivadas \(f'(y) = 2y, \ \ f''(y) = 2\), al aplicar la fórmula de Itô para semimartingalas con saltos, obtenemos \[Y_t^2 = Y_0^2 + 2 \int_0^t Y_s \, dY_s^c + \int_0^t d\langle Y^c \rangle_s + \sum_{s \leq t} \left[ Y_s^2 - Y_{s-}^2 - 2 Y_{s-} \Delta Y_s \right],\] donde: - \(dY_s^c = \Delta b_s \, ds + \Delta \sigma_s \, dW_s\) es la parte continua, - \(d\langle Y^c \rangle_s = (\Delta \sigma_s)^2 \, ds\) es la variación cuadrática de la parte continua, - \(\Delta Y_s = \int_Z \Delta R_s(z) \, N(\{s\}, dz)\) es el tamaño del salto en el instante \(s\). Al reescribir a la versión integral ya desarrollada y aplicar la formula de itô para \(f(y) = y^2\) aplicada a \(Y_t\) \[|Y_t|^2 = 2 \int_0^t Y_s \, \Delta b_s \, ds + 2 \int_0^t Y_s \, \Delta \sigma_s \, dW_s + \int_0^t |\Delta \sigma_s|^2 \, ds + 2 \int_0^t \int_Z Y_s \, \Delta R_s(z) \, \tilde{N}(ds, dz)\] \[+ \int_0^t \int_Z |\Delta R_s(z)|^2 \, N(ds, dz).\] Aplicando valor esperado y sus propiedades \[\mathbb{E}[ |Y_t|^2] = \mathbb{E}\left[2 \int_0^t Y_s \, \Delta b_s \, ds \right] +\mathbb{E}\left[ 2 \int_0^t Y_s \, \Delta \sigma_s \, dW_s \right] +\mathbb{E}\left[ \int_0^t |\Delta \sigma_s|^2 \, ds + 2 \int_0^t \int_Z Y_s \, \Delta R_s(s,z) \, \tilde{N}(ds, dz)\right]\] \[\mathbb{E}\left[\int_0^t \int_Z |\Delta R_s(z)|^2 \, N(ds, dz)\right]\] Dado que los valores esperados de las integrales respecto a \(dW_s\) y \(\widetilde{N}\) son martingalas, \[\mathbb{E}\left[ \int_0^t Y_s \, \Delta \sigma_s \, dW_s \right] = 0,\] \[\mathbb{E} \left[ \int_0^t \int_Z Y_s \, \Delta R_s(z) \, \tilde{N}(ds, dz)\right] = 0,\] y puesto que \(\mathbb{E}[N(ds,dz)] = \pi(dz)ds,\) se reduce a \[\mathbb{E}[|Y_t|^2] = \mathbb{E}\left[\int_0^t \left(2Y_s \, \Delta b(s) \, + |\Delta \sigma(s)|^2 \ + \int_Z |\Delta R_s(s,z)|^2 \, \pi ( dz)\right) ds\right].\] Nótese que para el primer término, al aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz \(2Y_s\Delta b(s)\leq 2|Y_s||\Delta b(s)|,\) y por las hipótesis de Lipschitz

\[|\Delta b(s) |\leq \widetilde{c}(s)|X_s|, \ \ |\Delta \sigma(s)|^2 + \int_z |\Delta R(s.z)|^2 \pi(dz) \leq \widetilde{c}(s)|X_s|^2.\] Además usando la desigualdad \(2ab \leq a^2 + b^2\), se tiene que \[2Y_s\Delta b(s) \leq 2|Y_s |\widetilde{c}(s)|X_s| \leq \widetilde{c}(s)(|Y_s|^2 + |X_s|^2),\] aplicando valor esperado y tomando el supremo \[\mathbb{E}[|{Y_t}|^2] \leq \int_0^t \widetilde{c}(s) \left( \mathbb{E}[|{Y_s}|^2] + \mathbb{E}[|{X_s}|^2] \right) ds.\] \[\mathbb{E}\!\left[ \sup_{0 \leq r \leq t} |{Y_r}|^2 \right] \leq \int_0^t \widetilde{c}(s) \left( \mathbb{E}\!\left[ \sup_{0 \leq r \leq s} |{Y_r}|^2 \right] + \!\left[ \sup_{0 \leq r \leq s} |{X_r}|^2 \right] \right) ds. \tag{4.3}\]

Como se ha eliminado la parte estocástica al tomar el valor esperado anteriormente, se procederá a obtener un acotamiento determinista.

Sea

\[u(t) := \mathbb{E}\!\left[ \sup_{0 \leq r \leq t} |{Y_r}|^2 \right], \qquad v(t) := \mathbb{E}\!\left[ \sup_{0 \leq r \leq t} |{X_r}|^2 \right],\]

entonces podemos reescribir Ecuación 4.3 como

\[u(t) \leq \int_0^t \widetilde{c}(s) \bigl( u(s) + v(s) \bigr) ds,\]

aplicando la desigualdad de Gronwall

\[u(t) \leq \int_0^t \widetilde{c}(s) v(s) \exp\!\left( \int_s^t \widetilde{c}(r) \, dr \right) ds.\]

Multiplicamos ambos lados por \(e^{-b_0 A(t)}\), donde \(A(t) = \int_0^t 4\widetilde{c}(r),dr,\) entonces

\[e^{-b_0 A(t)}u(t) \leq e^{-b_0 A(t)}\int_0^t \widetilde{c}(s) v(s) \exp\!\left( \int_s^t \widetilde{c}(r) \, dr \right) ds.\]

Notemos que

\[\int_s^t \widetilde{c}(r) \, dr = \frac{1}{4} \bigl( A(t) - A(s) \bigr),\]

y por lo tanto,

\[\begin{align*}e^{-b_0 A(t)} u(t)&\leq \int_0^t \widetilde{c}(s)v(s)\exp\!\left( \frac{1}{4}\bigl( A(t) - A(s) \bigr) -b_0 A(t)\right) ds \\ & = \int_0^t \widetilde{c}(s)v(s)exp\left(-\left(b_0-\frac{1}{4}\right)A(t) - \frac{1}{4}A(s)\right)ds.\end{align*}\]

Como \(v(s) \leq e^{b_0A(s)}\|{X}\|_M^2\), se tiene

\[\begin{align*}e^{-b_0 A(t)} u(t)&\leq \|{X}\|_M^2 \int_0^t \widetilde{c}(s)exp\left(-\left(b_0-\frac{1}{4}\right)A(t) - \frac{1}{4}A(s)\right)ds\end{align*}\]

simplificando lo que esta dentro de la exponencial

\[\left(-\left(b_0-\frac{1}{4}\right)A(t) - \frac{1}{4}A(s)\right) = \left(b_0-\frac{1}{4}\right)(A(s) -A(t)),\]

se reduce a \[\begin{align*} e^{-b_0 A(t)} u(t) &\leq \|{X}\|_M^2 \int_0^t \widetilde{c}(s)exp \left(\left(b_0-\frac{1}{4}\right)(A(s) -A(t))\right) ds. \end{align*}\] Dado que \(A(s)-A(t)\leq 0\), el término exponencial es menor que uno si \(b_0\geq\frac{1}{4}.\) Por lo que haciendo un cambio de variable \(U = A(s)\), \(dU=\widetilde{c}(s)ds,\) y \(A(t)= \int_0^t \widetilde{c}(s)ds\) \[\begin{align*} \int_0^t \widetilde{c}(s) exp\left(\left(b_0 - \frac{1}{4}\right)(A(s(-A(t))))\right)ds & = \int_0^{A(t)}exp\left(\left( b_0 - \frac{1}{4}\right)(U-A(t))\right)dU\\ & = exp\left(-\left( b_0 - \frac{1}{4}\right)A(t)\right)\int_0^{A(t)}exp\left(\left( b_0 - \frac{1}{4}\right)U\right)dU, \end{align*}\] Si \(b_0>\frac{1}4{}\)

\[\int_0^{A(t)}exp\left(\left( b_0 - \frac{1}{4}\right)U\right)dU = \frac{1}{b_0 - \frac{1}{4}}\left[exp\left(\left(b_0-\frac{1}{4}\right)A(t)\right)-1\right],\] entonces \[e^{-b_0A(t)} u(t) \leq \|{X}\|_M^2 \frac{1}{b_0-\frac{1}{4}}\left[1-exp\left(-\left(b_0-\frac{1}{4}\right)A(t)\right)\right]\leq\|{X}\|_M^2\frac{1}{b_0-\frac{1}{4}},\] por lo tanto \[\|{Y}\|_M^2 = \sup_{t\in[0,T]}e^{-b_0A(t)}u(t)\leq\frac{1}{b_0-\frac{1}{4}} \|{X}\|_M^2.\] Elegimos apropiadamente a \(b_0>\frac{5}{4}\), para que \(\frac{1}{b_0-\frac{1}{4}}<1\), en consecuencia \(\Phi\) es contractivo. Por el principio de contracción de Banach, \(\Phi\)tiene un único punto fijo en \(H\) , que es la solución única de la SDE.

Ahora se demostrará que la solución es única por trayectoria. Sea \(x^{\prime}_{t}\), una versión RCLL del proceso \(x_t\) que es solución de Ecuación 4.1, es decir para cada \(t \in [0,T]\), \(P(x^{\prime}_{t} \neq x_t) = 0\), \(x^{\prime}_{t}\) es solución de Ecuación 4.1 y es un proceso continuo por la derecha y con limite por la izquierda en \(t.\)

Denotemos \(x^{\prime\prime}_{t}\) y \(y_t\) como \[\begin{align*} x^{\prime\prime}_t = x_0 &+ \int_0^t b(s,x_s,\omega)\,ds + \int_0^t \sigma(s,x_s,\omega)\,dw_s \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \int_0^t\!\int_Z R(s,x_{s-},z,\omega)\,\tilde{N}_t(ds,dz), \qquad t\ \in [0,T] \end{align*}\] \[\begin{align*} y_t = x_0 &+ \int_0^t b(s,x^{\prime}_s,\omega)\,ds + \int_0^t \sigma(s,x^{\prime}_s,\omega)\,dw_s \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \int_0^t\!\int_Z R(s,x^{\prime}_{s-},z,\omega)\,\tilde{N}_t(ds,dz), \qquad t\in [0,T]. \end{align*}\] Dado que \(x^{\prime}\) es una versión RCLL de un proceso adaptado, por el teorema () \(x^{\prime}\) es adaptado. \ Puesto que \(x_t \in L^2(\Omega \times [0,T])\) y ademas ambos procesos son medibles como funciones \((t,\omega) \mapsto x_t(\omega)\) con respecto a la \(\sigma-\)álgebra producto \(\mathcal{B}([0,T])\bigotimes\mathcal{F}.\) Entonces para cada \(t\), \(|x^{\prime}_t - x_t|^2 =0\) casi seguramente, es decir \[\mathbb{E}[|x^{\prime}_t - x_t|^2] = 0, \quad \text{para todo } t \in [0,T]. \] Ahora, bajo la suposición de medibilidad conjunta (que se cumple si, por ejemplo, los procesos son progresivamente medibles, lo cual es cierto para soluciones de SDEs con coeficientes medibles), podemos aplicar el (teorema de Fubini), \[\mathbb{E}[\int_0^T|x^{\prime}_t - x_t|^2dt] = \int_0^T\mathbb{E}[|x^{\prime}_t - x_t|^2]dt =0. \tag{4.4}\] Consideremos el conjunto donde los procesos no coinciden \[N := \{(t,\omega) \in [0,T]\times \Omega : x^{\prime}_t(\omega)\neq x_t(\omega)\},\] este conjunto es medible en \(\mathcal{B}([0,T])\bigotimes\mathcal{F}\) ya que \(x^{\prime}_t(\omega) - x_t(\omega)\) es una función medible y además es equivalente a \(N = \{(t,\omega) : |x^{\prime}_t(\omega)- x_t(\omega)|^2>0\}.\)

De la Ecuación 4.4 se sigue que \[(dt\bigotimes\mathbb{P})(N) = \int_0^T \mathbb{P}(x^{\prime}_t\neq x_t)dt = \mathbb{E} \left[\int_0^T 1_N(t,\omega)dt\right]= 0. \tag{4.5}\]